안녕하세요. 회원님.
토마토 클래스 토익연구소입니다.

Some people believed his excuse, but (others, the others) didn’t.

막연하게 '일부는 ~그리고 또 일부는' 이라는 의미를 나타낼 때는 some~ 그리고 others를 써 주는게 맞습니다.
이 문장에서는 특정한 수의 사람들을 지칭하는게 아니고 그냥 일부를 나타내는 것이기 때문에 others 입니다.
즉, 문맥상 사람의 수가 제한되어 있다면 the others를 쓰는게 맞지만 위 문장에서는 사람수의 제한을 두지는 않았기 때문에 others를 쓴 것입니다.

the others를 쓰는 예를 들어 볼게요.

There are four employees. One is examining the contents, and the others are taking a break.
(네 명의 직원이 있다. 한 명이 내용물을 점검하고 있고 나머지 전원은 쉬고 있다.)

위의 예문 같이 문맥상 사람이 제한되어 있으므로 the를 붙여 줍니다. 아마도 많은 문장을 접하시다 보면 감이 오실 것 입니다. ^^

The actor responds to each fan (letter, letters) personally.

each는 '각각의'라는 뜻으로 단수를 취합니다. 따라서 답은 letter입니다.

이 문장은 each of the 표현과는 무관한 [each + 단수명사] 구문입니다.

감사합니다.